A Parábola

A parábola é descrita pela trajetória, em um plano, de um ponto P que se mantém equidistante de um ponto F, nomeado como Foco, e de uma reta desse plano, nomeada por reta diretriz.

Mecamismo Articulado

Assim como foi concebido o compasso, para traçar uma circunferência, tem se o parabológrafo (figura 1),  que traça parte de uma parábola. 

Figura 1: Parabológrafo

Uma reprodução do parabológrafo, no GeoGebra, se baseia em um losango ABCD articulado nos vértices, cujos lados possuem um comprimento fixo, o foco da parábola é o vértice B o qual é fixado, o vértice oposto D percorre a reta diretriz. E os vértices A e C se movem, e variam os ângulos do losango. E completando o mecanismo, um segmento perpendicular a reta diretriz que intercepta a diagonal AC, no ponto P, o qual é o local onde é alocada no mecanismos  a lapiseira, que traçará a parábola. A seguir, tem-se um applet da reprodução do mecanismo no GeoGebra. Para fazer uso dele, basta movimentar o ponto D sobre a reta.

        Para limpar o rastro no applet use: Ctrl + F. Assim quiser mover o ponto B, que representa o foco, ou a reta diretriz, limpe o traço, ou desabilite o traço do ponto P.
        

Note que, o mecanismo usa o fato da diagonal AC estar contida na mediatriz do segmento BD, que é o lugar geométrico dos pontos que equidistam das extremidades do segmento BD. E veja a versão real do parabológrafo, abaixo:

Observe que não foram reproduzidos todos os elementos do parabológrafo acima no GeoGebra, porém os que não estão reproduzidos são meros suportes do mecanismo real, que no GeoGebra não são necessários visto que construímos os elementos com as propriedades necessárias.

Parametrização

Para a parametrização da parábola, consideremos primeiramente que o foco tenha as coordenadas (0, p/2), onde p é a distância do foco a reta diretriz. Neste caso, teremos que o vértice da parábola terá coordenadas (0, 0), ou seja, será a origem do plano cartesiano. Com isso, o ponto P  que descreve a parábola, terá coordenadas (x, y) . 

No applet acima, observe que controle deslizante p determina a distância entre o foco F e a reta diretriz r. E quanto maior seu valor, maior é a abertura da parábola.

Para parametrização, toma-se o parâmetro t , como sendo a abscissa do ponto P. E sendo D a projeção do ponto P, sobre a reta diretriz, sabe-se que:

e

     Como pela definição da parábola os segmentos PD e PF possuem a mesma medida então:

       E portanto as equações paramétricas são:

E para encontrar  a equação cartesiana canônica, basta substituir t por  x e obtém-se:

.

Aplicação

Uma aplicação bem conhecida da parábola, são as antenas parabólicas que utilizam se da propriedade refletora do parábola, para ampliar a captura de sinal, para o receptor, que é posicionado no foco, e assim todos os sinais que incidem na direção do eixo da superfície paraboloide, ao serem refletidos pela antena tomam a direção do receptor.